Kyocera fs-1750 [43/260] miter limit

Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье +18

  • 03.05.16 06:48


Nabytovych

#247235

Хабрахабр

15300

Программирование, JavaScript, Алгоритмы, HTML

Доброго времени суток, харбачитатель.
В этой статье мне хотелось бы рассказать об одном придуманном когда-то алгоритме (или скорее всего — переизобретённом велосипеде) построения плавного графика по заданным точкам, используя кривые Безье. Статья была написана под влиянием вот этой статьи и товарища lany, за что им отдельное спасибо.
Постановка задачи
Есть массив Y-ков точек, расположенных равномерно по оси X. Нужно получить плавный график, который проходит через все заданные точки. Пример на рисунке ниже:

в уже упомянутой статье

Основная идея

О кривых Безье хорошо написано на вики и на javascript.ru
Если внимательно читать, то можно обратить внимание, что кривая Безье выходит из первой точки касательно к прямой начальная_точка-первая_опорная_точка. Аналогично и в конце — кривая заходит касательно прямой последняя_опорная_точка-конечная_точка
Таким образом получается, что если у нас одна кривая заканчивается в точке А и зашла касательно к прямой а, а другая кривая выходит из этой точки А касательно к той-же прямой а, то этот переход между двумя кривыми Безье у нас получится плавным.
Исходя из первого пункта получается, что у нас опорные точки слева и справа относительно точки А должны лежать на одной прямой. Поразмыслив немного, было решено, что эта прямая должна быть такой, чтобы ?BAB1=?CAC1 (рисунок ниже), где точки B1 и C1 — опорные.

Расстояние от точки А до точек B1 и C1 было решено взять равным половине шага по X между точками B и A, A и C, и т.д

Мне сложно как-то обосновать такой выбор, но важно, чтобы это расстояние было меньше, чем шаг по X между точками А и B, иначе может получится что-то такое, как на рисунке ниже. Важно понимать, что чем больше будет это расстояние, тем более извилистой будет кривая и наоборот

Расстояние в половину шага по X мне кажется оптимальным, но тут уже возможны варианты.

B1C1B1C1

Поиск прямой

y=kx+bkb

Поиск коэффициента k

k = tg(?) = tg((?-?)/2) = (Sqrt(((YA-YB)2+?X2)*((YA-YC)2+?X2))-?X2-(YA-YB)*(YA-YC)) / (?X*(YC-YB))?Xkb

К приятному!

  1. От товарища lany (огромное ему за это спасибо и плюс ему к карме) я узнал, что html5 с помощью функций quadraticCurveTo() и bezierCurveTo() умеет рисовать по canvas-у кривые Безье сам. Соответственно, алгоритм можно применить с JavaScript-ом.
  2. Приятной особенностью алгоритма есть то, что график предсказуемо «выпирает» за границы пространства точек, через которые мы собственно проводим график. Если брать расстояние до опорных точек равными половине шага по X (отрезок [AC1] на последнем рисунке), то зазора в четверть шага по X сверху и снизу от границ canvas-а будет достаточно.

JSFiddleUPDATE:

Попытки сделать так, чтобы опорные точки нужно было считать один раз, а потом, при масштабировании графика, просто использовать их координаты, потерпели неудачу. Все упирается в то, что в расчет коэффициента k входит и текущий масштаб по X, и текущий масштаб по Y. И вытянуть их из формулы не выходит

Товарищ quverty меня об этом предупреждал и оказался прав.
Хотел бы еще раз обратить внимание, что кривизну построенного графика можно регулировать. Для этого следует изменять расстояние до опорных точек — менять коэффициент ?X’=?X/2*Sqrt(1/(1+k2)), а именно — знаменатель вот этого его кусочка: ?X/2

Знаменатель меньше 1 брать не следует (читай третий подпункт пункта «Основная идея»). Поэкспериментировать можно на JSFiddle (129 строка JavaScript-а).
Обратите внимание на товарища IIvana. И спасибо ему за этот комментарий.

Вы можете помочь и перевести немного средств на развитие сайта

Notable people

View from Béziers to the river Orb

Béziers was the birthplace of:

  • Jedaiah ben Abraham Bedersi (1270–1340), poet, philosopher and physician
  • Abraham Bedersi was a Provençal Jewish poet from the 13th-century
  • Pierre-Paul Riquet (1609 or 1604–1680), engineer and canal-builder responsible for the construction of the Canal du Midi
  • Paul Pellisson (1624–1693), author
  • Jean Barbeyrac (1674?-1744), jurist
  • Jean-Jacques d’Ortous de Mairan (1678–1771), geophysicist
  • Jean-Henri-Nicolas Bouillet (1729–1790), physician and Encyclopédiste, mayor of Béziers from 1787 to 1790
  • Pierre Jean Porro (1750–1831), guitarist, composer and music publisher
  • Joseph-Henri baron de Jessé (1755–1794), nobleman and president of the National Constituent Assembly
  • Jean Gailhac (1802-1890), priest, educator and founder of the Religious of the Sacred Heart of Mary
  • Agénor Azéma de Montgravier (1805–1863), archeologist and Chef d’escadron in the Artillery
  • Jean Antoine Ernest Constans (1833–1913), statesman
  • Jean Antoine Injalbert (1845–1933), sculptor
  • Valentin Duc (1858–1915), operatic tenor
  • Gustave Fayet (1865–1925), artist, art collector, owner of Abbaye de Fontfroide
  • Jean Magrou (1869–1945), sculptor
  • Henri Fescourt (1880–1946), film director
  • Mario Cazes (1890–1972), composer, conductor and violinist
  • Jean Moulin (1899–1943), a hero of the French Resistance in the Second World War
  • Edgar Faure (1908–1988), statesman
  • Christian Metz (1931–1993), film theorist
  • Jean-Pierre Escalettes (b. 1935), former president of the French Football Federation (2005–2010)
  • Elisabeth Daynès (b. 1960), sculptress
  • Damien Comolli (b. 1972), football director
  • Julien Rodriguez (b. 1978), Olympique de Marseille footballer
  • Jérémy Clément (b. 1984), Saint-Étienne footballer
  • Aurélie Kamga (b. 1985), athlete
  • Alexandra Rosenfeld (b. 1986), Miss France 2006, Miss Europe 2006
  • Richard Gasquet (b. 1986), French tennis player
  • Thomas Heurtel (b 1989), basketball player

Часть вторая. Скоростное такси.

А теперь, после всего того, что вы узнали, можно обрисовать все что захотите. Напоминаю общую схему:

1. Импортируем картинку.
2. Добавляем ей прозрачность.
3. Закрепляем.
4. Обрисовываем с помощью кривых Безье. Стараемся обрисовывать частями — рисуем кривые линии между острыми углами на кривой.
5. Соединяем кривые в один объект (Комбинируем: Arrange – Combine или Ctrl+L) и закрашиваем объект в какой-нибудь цвет (закрашиваем чисто условно для себя, в качестве подсказки, чтобы когда соединим последние точки разрыва, фигура подкрасилась, говоря нам о том, что все, она замкнулась, и больше искать точек разрыва не надо. Если фигура еще не закрасилась, значит вы соединили не все точки разрыва. Надо искать и соединять).
6. Соединяем «точки разрыва» чтобы получить замкнутую фигуру.

Вот что у меня получилось. Я сделал скриншот из игры Need For Speed: Most Wanted и обрисовал автомобиль.

Скриншот из игры Need For Speed: Most Wanted

Для закрепления навыка перетащите эту картинку в программу и обрисуйте, посмотрев предварительно как это сделал я. Активно использую только кривые Безье и операции сложения, вычитания и пересечения. Поскольку вы уже сами все можете делать, показываю в картинках мои действия.

Рис. 27. Обрисовываю по контуру все объекты имеющие четко-выраженную границу. Рисую частями — если есть острый угол, дугу рисую между ними, а потом комбинирую в одну фигуру все линии и соединяю «точки разрыва». Рисуйте за один раз один отдельный объект и СРАЗУ соединяйте точки разрыва для получения замкнутой фигуры, чтобы в будущем не запутаться. Например, в самом начале я обрисовал общий контур автомобиля, скомбинировал все кривые в одну фигуру, залил цветом, соединил точки разрыва и когда убедился что контур замкнулся (подкрасился цветом, потом я заливку убрал чтобы видеть остальные части машины) только после этого приступил к рисованию следующего элемента: стекла, зеркала, фары и т.д.

Рис. 27

На рис. 28 я показал разным цветом сколько у меня всего получилось различных отдельных объектов.

Рис. 28

Для придания «объема» я использовал обычный инструмент линейного градиента (для фар — круговой градиент). Заднее колесо я получил из переднего, сдублировав его и просто немного уменьшив и сжав по горизонтали (рис. 29).

Рис. 29

Дальше я немного пофантазировал, и решил что тупо обведенная картинка меня не очень прикалывает, поэтому я сделал полоску из чередующихся черных квадратиков, и с помощью операции «перспектива» подогнал эту полоску на капот и боковушку машины (рис. 30)…..

Рис. 30

….и перекрасил ее в желтый цвет. «Если вы не успеваете в аэропорт, на вокзал или на свидание — суперскоростное такси к вашим услугам!»:

Рис. 31

Поколдовав немного с полученной картинкой с помощью фотошопа я сделал презентационное изображение к этому уроку для Render.ru:

Рис. 32

п.с. 2. Если вы заметили по картинкам автомобиля, для придания объема я использовал градиент, например от желтого цвета к темно-желтому. В этом случае, если нужно получить оттенок какого-либо цвета быстро (см. рис. 33), например есть стандартный красный, а нам нужен цвет потемней, но этого цвета нет в цветовой палитре, в этом случае, мы выделяем объект, который хотим закрасить, жмем мышкой на красный квадратик цвета и удерживаем мышку нажатой в течение 1-2 секунд. Появляется окош

Настройки узлов

Давайте подробно рассмотрим панель работы с узлами.
Если присмотреться к рисунку выше, то можно заметить что узел 1 отмечен ромбиком, узел 2 квадратиком. Это не случайно: узлы в Inkscape могут быть симметричными (узел 2) и не симметричными — острыми (узел 2). Настройки узла появляются при выборе инструмента «Редактировать узлы контура или рычаги узла»:

  1. Позволяет добавить узел между существующими двумя любыми ближайшими (эти узлы нужно выделить, кликнув по сегменту между ними);
  2. Позволяет удалить выбранный узел;
  3. Позволяет объединить два выделенных ближайших узла в один;
  4. Позволяет разбить выделенный узел на два, кривая при этом разрывается;
  5. Позволяет, выделив два оконечных узла двух кривых, соединить их прямым сегментом;
  6. Позволяет отрезать один сегмент от кривой, при условии если ни один из узлов не является конечным;
  7. Позволяет сделать выбранный узел острым;
  8. Позволяет сделать выбранный узел сглаженным, но не симметричным;
  9. Позволяет сделать выбранный узел сглаженным и симметричным (длины рычагов одинаковые);
  10. Позволяет сделать узел автоматически сглаженным (один из рычагов будет лежать на самой кривой);
  11. Позволяет выпрямить сегмент;
  12. Позволяет сделать сегмент кривым, добавив два одинаковых рычага в узлы;
  13. Оконтуривание объекта;
  14. Оконтуривание обводки;

Инструмент идеален для отрисовки изображений, которые сделаны на бумаге. Если вам удобно, то сначала можно нарисовать на бумаге набросок, затем отсканировать его и импортировать в документ. Создав слой над наброском, можно с помощью этого инструмента обвести рисунок и продолжить работу уже в векторе. Ну вот так, например,- рисуем голову лягушки из мультика:

и, с помощью инструмента «рисовать кривые Безье и прямые линии», рисуем лягушонка

 Кривая Безье может иметь различную форму, которую можно выбрать из списка «Форма» (рис. ниже)

Угасание позволяет рисовать линию с уменьшающейся толщиной, нарастание с увеличивающейся толщиной, а форма — эллипс позволяет рисовать линию которая сначала нарастает, а потом затухает. Это позволяет придать линиям более художественную форму.

Второй режим это «Рисовать кривую Спиро». Отличный инструмент для рисования лент, красивых узоров. Нарисуйте ломаную, сделайте все узлы симметричными и потяните за любой узел- вы получите причудливую кривую:

Подводя итог, кривые Безье в Inkscape  инструмент настолько важный, что владение им залог успеха в создании изображений.

Создание контуров инструментами из группы Pencil

В данную группу входят инструменты: Pencil (Карандаш), предназначенный для рисования произвольных линий, Smooth (Сглаживание), позволяющий смягчить форму контура, и Erase (Ластик), служащий для удаления отдельных фрагментов контура. Особенности использования первого и последнего из них напоминают применение аналогичных инструментов в других графических пакетах — с той лишь разницей, что они ориентированы на обработку контуров.

Для примера создадим карандашом произвольное изображение (рис. 3). О том, что это контур, будет свидетельствовать появление многочисленных опорных точек. Подберем подходящий вариант границы изображения — в данном случае взят вариант Rustic Pen из палитры Styles (рис. 4).

Рис. 3. Контур, созданный инструментом Pencil

Рис. 4. Результат обводки контура

Чтобы оценить возможности сглаживания контура инструментом Smooth, нарисуйте контур с острыми углами, например как на рис. 5. Выделите созданный контур, активизируйте инструмент Smooth, при необходимости подкорректируйте его настройки (это можно сделать, дважды щелкнув на инструменте в палитре инструментов и изменив значения параметров Fidelity (Точность) и Smoothness (Гладкость) — рис. 6 — и начинайте методически проводить вдоль границы контура с острыми гранями. Делать это придется до тех пор, пока полученный результат вас не удовлетворит (рис. 7).

Рис. 5. Исходное изображение контура с острыми углами

Рис. 6. Окно настройки параметров инструмента Smooth

Рис. 7. Результат сглаживания острых углов

Инструмент Erase работает обычным образом: для стирания отдельных фрагментов контура надо лишь поводить ластиком вдоль стираемого фрагмента. Нарисуйте, например, обычную звезду (рис. 8), а затем попробуйте ластиком аккуратно удалить точки контура в ее вершинах (рис. 9).

Рис. 8. Исходное изображение контура

Рис. 9. Внешний вид контура после удаления вершин

Опорные точки

Кривая Безье задаётся опорными точками.

Их может быть две, три, четыре или больше. Например:

По двум точкам:

По трём точкам:

По четырём точкам:

Если вы посмотрите внимательно на эти кривые, то «на глазок» заметите:

  1. Точки не всегда на кривой. Это совершенно нормально, как именно строится кривая мы рассмотрим чуть позже.

  2. Степень кривой равна числу точек минус один.
    Для двух точек – это линейная кривая (т.е. прямая), для трёх точек – квадратическая кривая (парабола), для четырёх – кубическая.

  3. Кривая всегда находится внутри выпуклой оболочки, образованной опорными точками:

Благодаря последнему свойству в компьютерной графике можно оптимизировать проверку пересечения двух кривых. Если их выпуклые оболочки не пересекаются, то и кривые тоже не пересекутся. Таким образом, проверка пересечения выпуклых оболочек в первую очередь может дать быстрый ответ на вопрос о наличии пересечения. Проверить пересечение или выпуклые оболочки гораздо проще, потому что это прямоугольники, треугольники и т.д. (см. рисунок выше), гораздо более простые фигуры, чем кривая.

Основная ценность кривых Безье для рисования в том, что, двигая точки, кривую можно менять, причём кривая при этом меняется интуитивно понятным образом.

Попробуйте двигать точки мышью в примере ниже:

Как можно заметить, кривая натянута по касательным 1 → 2 и 3 → 4.

После небольшой практики становится понятно, как расположить точки, чтобы получить нужную форму. А, соединяя несколько кривых, можно получить практически что угодно.

Вот некоторые примеры:

Economy

Fonserannes Locks on the Canal du Midi

Today, Béziers is a principal centre of the Languedoc viticulture and wine making industries, although there is still much unemployment in the city. In 2011, Béziers received a 12 million euro grant to start renovating the old city center.[citation needed] The historic Allees Paul Riquet will undergo a facelift in 2014.[citation needed]

Transport

The A9 autoroute between Italy and Spain skirts Béziers. The final link in the A75 autoroute between Pézenas and the A9 was completed in December 2010 and provides direct links to Clermont-Ferrand and Paris.

The Gare de Béziers is a railway station with connections to Toulouse, Montpellier, Bordeaux, Marseille, Paris, Barcelona and several regional destinations. TGV trains stop in Béziers, but the tracks between Montpellier and Spain are not yet high speed tracks.

Béziers Cap d’Agde Airport (previously Béziers-Agde-Vias Airport), owned by the Chamber of Commerce and Industry, provides connections to destinations in northern Europe. Following an extension to the runway which was completed in March 2007, Ryanair began flights to and from Bristol Airport in March 2008, and later to London Stansted and London Luton Airport. Current (Jan. 2013) destinations from this airport with Ryanair are Bristol, London Luton Airport, Paris Beauvais, Oslo Rygge, Manchester, Edinburgh, Weeze Airport and Stockholm Skavsta, while Flybe serves Southampton.

Виды кривых Безье

Линейные кривые

Линейная кривая Безье

При n = 1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точки P и P1 определяют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:

B(t)=(1−t)P+tP1t∈,1{\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}\quad t\in }.

Квадратичные кривые

Квадратичная кривая Безье

Квадратичная кривая Безье (n = 2) задаётся тремя опорными точками: P, P1 и P2.

B(t)=(1−t)2P+2t(1−t)P1+t2P2,t∈,1{\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2t(1-t)\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2},\quad t\in }.

Квадратичные кривые Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF-файлах.

t=P−P1±(P−2P1+P2)B+P12−PP2P−2P1+P2,P−2P1+P2≠{\displaystyle t={\frac {\mathbf {P} _{0}-\mathbf {P} _{1}\pm {\sqrt {(\mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2})\mathbf {B} +\mathbf {P} _{1}^{2}-\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{2}}}}{\mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}}},\quad \mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}\neq 0}
t=B−P2(P1−P),P−2P1+P2=,P≠P1{\displaystyle t={\frac {\mathbf {B} -\mathbf {P} _{0}}{2(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})}},\quad \mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}=0,\quad \mathbf {P} _{0}\neq \mathbf {P} _{1}}
t=B−PP2−P1,P=P1≠P2{\displaystyle t={\sqrt {\frac {\mathbf {B} -\mathbf {P} _{0}}{\mathbf {P} _{2}-\mathbf {P} _{1}}}},\quad \mathbf {P} _{0}=\mathbf {P} _{1}\neq \mathbf {P} _{2}}

Кубические кривые

Кубическая кривая Безье

В параметрической форме кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:

B(t)=(1−t)3P+3t(1−t)2P1+3t2(1−t)P2+t3P3,t∈,1{\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {P} _{0}+3t(1-t)^{2}\mathbf {P} _{1}+3t^{2}(1-t)\mathbf {P} _{2}+t^{3}\mathbf {P} _{3},\quad t\in }.

Четыре опорные точки P, P1, P2 и P3, заданные в 2- или 3-мерном пространстве, определяют форму кривой.

Линия берёт начало из точки P, направляясь к P1 и заканчивается в точке P3, подходя к ней со стороны P2. То есть, кривая не проходит через точки P1 и P2, они используются для указания её направления. Длина отрезка между P и P1 определяет, как скоро кривая повернёт к P3.

В матричной форме кубическая кривая Безье записывается следующим образом:

B(t)=t3t2t1MBPP1P2P3{\displaystyle \mathbf {B} (t)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}\mathbf {M} _{B}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{0}\\\mathbf {P} _{1}\\\mathbf {P} _{2}\\\mathbf {P} _{3}\end{bmatrix}}},

где MB{\displaystyle \mathbf {M} _{B}} называется базисной матрицей Безье:

MB=−13−313−63−331{\displaystyle \mathbf {M} _{B}={\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}

В современных графических системах и форматах, таких как PostScript (а также основанные на нём форматы Adobe Illustrator и Portable Document Format (PDF)), Scalable Vector Graphics (SVG), Metafont, CorelDraw и GIMP для представления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых.

Итак, в чем подвох?

Звучит всё это очень клёво, конечно, но есть несколько моментов, к которым нужно присмотреться при использовании ГВНКБ.

Иногда вам не удастся найти самую дальнюю точку кривой для размещения узла.

Иногда линия заканчивается до того, как она достигает подходящей точки (как на Рис.5). Абсолютно нормально в этом случае отпустить Шифт и просто повернуть направляющую на тот угол, который кажется подходящим. Не нужно становиться фашистом Безье, нужно чтобы ваш дизайн настолько круто, насколько возможно.

Продолжай держать свои узлы на привязи.

Этот метод является гораздо более требовательным чем случайное размещение узлов. Если узлы начали сбиваться с правильного пути, ваши кривые становятся всё меньше похожими на Монро, и всё больше — на Человека-слона. Если кривая просто не желает работать (см. Рис.7), попробуйте немного сдвинуть узел.

Размещение может показаться тесным или неуклюжим.

Иногда та самая «дальняя точка» (ДТ) находится очень близко к другой ДТ. Посмотрите на этот бардак:

Рис. 08 – Это часто будет происходить в конечных штрихах букв. Например, вверху «s» в нашем слове ‘Beziers’.

Но не волнуйтесь, это всё часть веселья. Достаточный зум поможет точно настроить все детали, смотрите:

Рис. 09

Это реально стоит немного дополнительного времени в таких местах, как это, когда вы понимаете все остальные выгоды метода.

Population

Historical population
Year Pop. ±%
1793 12,501 —    
1800 14,535 +16.3%
1806 14,565 +0.2%
1821 16,140 +10.8%
1831 16,679 +3.3%
1836 16,233 −2.7%
1841 18,874 +16.3%
1846 19,596 +3.8%
1851 19,333 −1.3%
1856 23,557 +21.8%
1861 24,270 +3.0%
1866 27,722 +14.2%
1872 31,468 +13.5%
1876 38,227 +21.5%
1881 42,915 +12.3%
1886 42,785 −0.3%
1891 45,475 +6.3%
1896 48,012 +5.6%
1901 52,310 +9.0%
1906 52,268 −0.1%
1911 51,042 −2.3%
1921 56,008 +9.7%
1926 65,754 +17.4%
1931 71,527 +8.8%
1936 73,305 +2.5%
1946 64,561 −11.9%
1954 64,929 +0.6%
1962 73,528 +13.2%
1968 80,481 +9.5%
1975 84,029 +4.4%
1982 76,647 −8.8%
1990 70,996 −7.4%
1999 69,153 −2.6%
2008 71,672 +3.6%
2012 72,970 +1.8%
2014 75,701 +3.7%

The inhabitants of Béziers are known as Biterrois, after Baeterrae, the Roman name for the town.

Население

Историческое население
Год Население ±%
1793 12501 —    
1800 14535 + 16,3%
1806 14565 + 0,2%
1821 16140 + 10,8%
1831 16679 + 3,3%
1836 16233 -2,7%
1841 18874 + 16,3%
1846 19596 + 3,8%
1851 19333 -1,3%
+1856 23557 + 21,8%
1861 24270 + 3,0%
1866 27722 + 14,2%
1872 31468 + 13,5%
1876 38227 + 21,5%
1881 42915 + 12,3%
1886 42785 -0,3%
1891 45475 + 6,3%
1896 48012 + 5,6%
1901 52310 + 9,0%
1906 52268 -0,1%
1911 51042 -2,3%
1921 56008 + 9,7%
1926 65754 + 17,4%
1931 71527 + 8,8%
1936 73305 + 2,5%
1946 64561 -11,9%
1954 64929 + 0,6%
1962 73528 + 13,2%
1968 80481 + 9,5%
1975 84029 + 4,4%
1982 76647 -8,8%
1990 70996 -7,4%
1999 69153 -2,6%
2008 71672 + 3,6%
2012 72970 + 1,8%
2014 75701 + 3,7%

Жители Безье известны как Biterrois , после Baeterrae , в римское имя для города.

Размещение узлов

Вот вам секретный соус. Единственный метод, при котором направляющие размещаются аккуратно под углами в 0° и 90° — это размещать узлы с определенной стратегией. Метод может звучать сложно, но однажды поняв его, применять его супер-просто.

Фишка: зажимайте  когда тащите направляющие, чтобы они располагались точно вертикально или горизонтально.

Посмотрите на упрощенную схему на рисунке 4. Красными точками обозначены горизонтальные узлы, синими — вертикальные. Заметьте, что каждая точка размещается на самой дальней точке каждой кривой.
Рис. 04

Рис. 05 поясняет эту модель чуть более детально , и показывает оптимальное место для размещения вашего узла.

Рис. 05

Вы узнаете, что разместили узел неправильно, когда получите вот такую проблему:

Рис. 06 – Перемещение точки в красном кружке (по направлению стрелки) сделает кривую лучше подходящей под эскиз.

Теперь мы знаем, что размещение узлов не носит случайный характер. Ограничение самого себя в технике размещения узлов, описанное выше, позволяет вам думать чуть меньше во время векторизации и передать тяжелую работу от мозга вашей мышечной памяти. Теперь поговорим о направляющих кривых Безье.

Особые случаи

Кривая Безье определяется набором контрольных точек P через P п , где п называется его порядок ( п = 1 для линейных, 2 для квадратичной и т.д.). Первый и последний контрольные точки всегда конечные точки кривой; Однако, промежуточные контрольные точки (если таковые имеются) , как правило , не лежат на кривой. Суммы в следующих разделах, следует понимать как , коэффициенты подводить к 1.

Кривые Безье Линейный

Принимая во внимание различные точки Р и Р 1 , линейная кривая Безье это просто прямая линия между этими двумя точками. Кривая задается

В(T)знак равноп+T(п1-п)знак равно(1-T)п+Tп1 , ≤T≤1{\ Displaystyle \ mathbf {B}, (т) = \ mathbf {P} _ {0} + T (\ mathbf {P} _ {1} — \ mathbf {P} _ {0}) = (1-т) \ mathbf {P} _ {0} + T \ mathbf {P} _ {1} {\ Mbox {,}} 0 \ Leq т \ Leq 1}

и эквивалентно линейной интерполяции .

Квадратичные кривые Безье

Квадратичные Безье в ИЗОНИТЬ: Конечные точки ( ) и контрольная точка ( х ) определяют квадратичный кривой Безье ( ).

Квадратичная кривая Безье путь прослежен с помощью функции B ( т ), учитывая точку Р , Р 1 и Р 2 ,

В(T)знак равно(1-T)(1-T)п+Tп1+T(1-T)п1+Tп2 , ≤T≤1{\ Displaystyle \ mathbf {B}, (т) = (1-т) + T {\ Mbox {,}} 0 \ Leq т \ Leq 1},

которые могут быть интерпретированы как линейной интерполянт соответствующих точек на линейных кривых Безье от P до P 1 и от P 1 до P 2 соответственно. Перегруппировка предыдущих выходов уравнения:

В(T)знак равно(1-T)2п+2(1-T)Tп1+T2п2 , ≤T≤1.{\ Displaystyle \ mathbf {B}, (т) = (1-т) ^ {2} \ mathbf {P} _ {0} + 2 (1-т) т \ mathbf {P} _ {1} + T ^ {2} \ mathbf {P} _ {2} {\ Mbox {,}} 0 \ Leq т \ Leq 1.}

Производной кривой Безье по отношению к т является

В'(T)знак равно2(1-T)(п1-п)+2T(п2-п1),{\ Displaystyle \ mathbf {B} «(т) = 2 (1-т) (\ mathbf {P} _ {1} — \ mathbf {P} _ {0}) + 2t (\ mathbf {P} _ { 2} — \ mathbf {P} _ {1}) \ ,.}

из чего можно сделать вывод , что касательные к кривой в Р и P 2 пересекаются в точке P 1 . В т возрастает от 0 до 1, кривая отходит от P в направлении P 1 , а затем изгибается , чтобы прийти к P 2 от направления P 1 .

Второй производной кривой Безье по отношению к т является

В»(T)знак равно2(п2-2п1+п),{\ Displaystyle \ mathbf {B} » (т) = 2 (\ mathbf {P} _ {2} -2 \ mathbf {P} _ {1} + \ mathbf {P} _ {0}) \ ,. }

Кубические кривые Безье

Четыре точки P , P 1 , P 2 и P 3 в плоскости или в многомерном пространстве определяют кубическую кривую Безье. Кривой начинается при P идущего по направлению к P 1 и поступает в P 3 , поступающем из направления P 2 . Как правило, она не будет проходить через P 1 или P 2 ; эти точки только там , чтобы обеспечить информацию о направлении. Расстояние между P 1 и P 2 определяет , «как далеко» и «как быстро» кривая движется в направлении P 1 до поворота в направлении P 2 .

Запись B P я , P J , P K ( т ) для квадратичного кривого Безье , определяемых точек P я , P J и P к , кубической кривой Безье может быть определена как аффинные комбинации двух квадратичных кривых Безье:

В(T)знак равно(1-T)Вп,п1,п2(T)+TВп1,п2,п3(T) , ≤T≤1.{\ Displaystyle \ mathbf {B}, (т) = (1-т) \ mathbf {B} _ {\ mathbf {P} _ {0}, \ mathbf {P} _ {1}, \ mathbf {P} _ {2}} (т) + т \ mathbf {B} _ {\ mathbf {P} _ {1}, \ mathbf {P} _ {2}, \ mathbf {P} _ {3}} (т) { \ Mbox {}} 0 \ Leq т \ Leq 1.}

Явный вид кривой:

В(T)знак равно(1-T)3п+3(1-T)2Tп1+3(1-T)T2п2+T3п3 , ≤T≤1.{\ Displaystyle \ mathbf {B}, (т) = (1-т) ^ {3} \ mathbf {P} _ {0} +3 (1-т) ^ {2} т \ mathbf {P} _ {1 } +3, (1-т) т ^ {2} \ mathbf {P} _ {2} + T ^ {3} \ mathbf {P} _ {3} {\ Mbox {,}} 0 \ Leq т \ Leq 1.}

Для некоторых вариантов из P 1 и P 2 кривая может пересекать себя или содержать точку возврата.

Любая последовательность любых 4 различных точек могут быть преобразованы в кубической кривой Безье , которая проходит через все 4 точки в порядке. Учитывая начальную и конечную точку некоторой кубической кривой Безье, а точки вдоль кривой , соответствующие т = 1/3 и т = 2/3, контрольные точки для исходной кривой Безье могут быть восстановлены.

Производная от кубической кривой Безье по отношению к т является

В'(T)знак равно3(1-T)2(п1-п)+6(1-T)T(п2-п1)+3T2(п3-п2),{\ Displaystyle \ mathbf {B} «(т) = 3 (1-т) ^ {2} (\ mathbf {P} _ {1} — \ mathbf {P} _ {0}) + 6 (1-трет ) т (\ mathbf {P} _ {2} — \ mathbf {P} _ {1}) + 3t ^ {2} (\ mathbf {P} _ {3} — \ mathbf {P} _ {2}) \ ,.}

Второй производной кривой Безье по отношению к т является

В»(T)знак равно6(1-T)(п2-2п1+п)+6T(п3-2п2+п1),{\ Displaystyle \ mathbf {B} » (т) = 6 (1-т) (\ mathbf {P} _ {2} -2 \ mathbf {P} _ {1} + \ mathbf {P} _ {0 }) + 6t (\ mathbf {P} _ {3} -2 \ mathbf {P} _ {2} + \ mathbf {P} _ {1}) \ ,.}

Алгоритм «де Кастельжо»

Есть математическая формула для кривых Безье, но давайте рассмотрим её чуть позже, потому что Алгоритм де Кастельжо идентичен математическому определению кривой и наглядно показывает, как она строится.

Рассмотрим его на примере трёх точек (точки 1,2 и 3 можно двигать). Нажатие на кнопку «play» запустит демонстрацию.

Построение кривой Безье c 3 точками по «алгоритму де Кастельжо»:

  1. Рисуются опорные точки. В примере это: , , .

  2. Строятся отрезки между опорными точками в следующем порядке 1 → 2 → 3. На рисунке они коричневые.

  3. Параметр «пробегает» значения от до . В примере использован шаг , т.е. в цикле .

    Для каждого из этих значений :

    • На каждом из коричневых отрезков берётся точка, находящаяся на расстоянии, пропорциональном , от его начала. Так как отрезков два, то и точек две.

      Например, при – точки будут в начале, при – на расстоянии в 25% от начала отрезка, при – 50% (на середине), при – в конце отрезков.

    • Эти точки соединяются. На рисунке ниже соединяющий их отрезок изображён синим.

При При
  1. На получившемся синем отрезке берётся точка на расстоянии, соответствующем . То есть, для (левый рисунок) получаем точку в конце первой четверти отрезка, для (правый рисунок) – в середине отрезка. На рисунках выше эта точка отмечена красным.

  2. По мере того, как «пробегает» последовательность от до , каждое значение добавляет к кривой точку. Совокупность таких точек для всех значений образует кривую Безье. Она красная и имеет параболическую форму на картинках выше.

Был описан процесс для построения по трём точкам. Но то же самое происходит и с четырьмя точками.

Демо для четырёх точек (точки можно двигать):

Алгоритм для 4 точек:

  • Точки по порядку соединяются отрезками: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 4. Получается три коричневых отрезка.

  • Для на отрезке от до :

    • На отрезках берутся точки, соответствующие текущему , соединяются. Получается два зелёных отрезка .
    • На этих отрезках берутся точки, соответствующие текущему , соединяются. Получается один синий отрезок.
    • На синем отрезке берётся точка, соответствующая текущему . При запуске примера выше она красная.
  • Эти точки вместе описывают кривую.

Алгоритм является рекурсивным и может быть обобщён на любое количество контрольных точек.

Дано N контрольных точек:

  1. Соединяем их, чтобы получить N-1 отрезков.
  2. Затем для каждого от до берём точку на каждом отрезке на расстоянии пропорциональном и соединяем их. Там будет N-2 отрезков.
  3. Повторяем 2 шаг, пока не останется одна точка.

Эти точки образуют кривую.

Запускайте и приостанавливайте примеры, чтобы ясно увидеть отрезки и то, как строится кривая.

Кривая, которая выглядит как :

Зигзагообразные контрольные точки тоже работают нормально:

Создание петли возможно:

Негладкая кривая Безье (да, это тоже возможно):

Если в описании алгоритма есть что-то непонятное, посмотрите «живые» примеры выше, они наглядно показывают, как строится кривая.

Поскольку алгоритм является рекурсивным, мы можем построить кривые Безье любого порядка, используя 5, 6 или более контрольных точек. Но на практике много точек не так полезны. Обычно мы берём 2-3 точки, а для сложных линий склеиваем несколько кривых. Это проще для разработки и расчёта.

Как нарисовать кривую через заданные точки?

Для задания кривой Безье используются контрольные точки. Как видим, они не находятся на кривой, кроме первой и последней.

Иногда перед нами стоит другая задача: нарисовать кривую через несколько точек, чтобы все они были на одной гладкой кривой. Эта задача называется интерполяцией, и она за рамками нашего изложения.

Для таких кривых существуют математические формулы, например, полином Лагранжа. В компьютерной графике сплайн-интерполяция часто используется для построения плавных кривых, соединяющих множество точек.

Итого

Кривые Безье задаются опорными точками.

Мы рассмотрели два определения кривых:

  1. Через математическую формулу.
  2. Через процесс построения де Кастельжо.

Их удобство в том, что:

  • Можно легко нарисовать плавные линии вручную, передвигая точки мышкой.
  • Более сложные изгибы и линии можно составить, если соединить несколько кривых Безье.

Применение:

  • В компьютерной графике, моделировании, в графических редакторах. Шрифты описываются с помощью кривых Безье.
  • В веб-разработке – для графики на Canvas или в формате SVG. Кстати, все живые примеры выше написаны на SVG. Фактически, это один SVG-документ, к которому точки передаются параметрами. Вы можете открыть его в отдельном окне и посмотреть исходник: demo.svg.
  • В CSS-анимации, для задания траектории или скорости передвижения.
Ссылка на основную публикацию